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2018-2019学年安徽省合肥一六八中学高二(宏志班)下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案-管理学资料网

2018-2019学年安徽省合肥一六八中学高二(宏志班)下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

发布于:2021-12-09 02:50:11

合肥一六八中学 2018/2019 学年第二学期期中考试

高二数学(理)试卷----宏志班 第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.

1.已知

i

是虚数单位,则复数

z

?

2?i 4 ? 2i

在复*面内对应的点所在的象限为(



A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.有一段“三段论”,推理是这样的:对于可导函数 f (x) ,如果 f ?(x0 ) ? 0 ,那么 x ? x0 是

函数 f (x) 的极值点,因为 f (x) ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以 x ? 0 是函数

f (x) ? x3 的极值点.以上推理中( )

A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确
3.函数 y ? 1 x2 ? ln x 的单调递减区间为( ) 2
A. (-1,1) B. (0,1) C. (1,+∞) D. (0,+∞)

4.由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的*面图形的面积为( )

A. 6 B. 4 C. 10 D. 16

3

3

5. 利用数学归纳法证明“ ?n ?1??n ? 2? ?n ? n? ? 2n ?1?3? ??2n ?1?, n?N* ”时,

从“ n ? k ”变到“ n ? k ?1 ”时,左边应増乘的因式是 (

A. 2k ?1

B. 2k ?1 k ?1

C. ?2k ?1??2k ? 2?

6. 给出一个命题 :若





,且

)
D. 2?2k ?1?
,则 , ,, 中至少

有一个小于零.在用反证法证明 时,应该假设 ( )

A. , ,, 中至少有一个正数

B. , ,, 全为正数

C. , ,, 全都大于或等于

D. , ,, 中至多有一个负数

7. 三角形的面积为 S ? 1 ?a ? b ? c? ? r ,( a,b, c 为三角形的边长, r 为三角形的内切圆
2
的半径)利用类比推理,可以得出四面体的体积为 ( )

A. V ? 1 abc ( a,b, c 为底面边长) 3

B.

V

?

1 3

?

S1

?

S2

?

S3

?

S4

?

r



S1,

S2

,

S3

,

S4

分别为四面体四个面的面积,r

为四面体内切

球的半径)

C. V ? 1 Sh ( S 为底面面积, h 为四面体的高) 3
D. V ? 1 ?ab ? bc ? ac? h ( a,b, c 为底面边长, h 为四面体的高)
3

8.函数 f (x) ? x ln x ,正确的命题是( )

A.值域为 R

B.在?1,+??上是增函数

C.f(x)有两个不同零点

D .过(1, 0)点的切线有两条

9.设 a ? sin1, b ? 2sin 1 , c ? 3sin 1 ,则( )

2

3

A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b D. c ? b ? a

10.已知函数 y ? f (x)(x ? R) 图象上任一点 (x0 , y0 ) 处的切线方程为 y ? y0 ?

(x0 ? 2)(x02 ?1)(x ? x0 ) ,那么函数 f (x) 的单调减区间是( )

A.??1, ???

B.? ??, 2?

C.??1,1?,?2,??? D.???,?1?,?1,2?

11.关于函数 f ? x? ? 2 ? lnx ,下列说法错误的是( )
x
A. x ? 2 是 f ? x? 的最小值点

B. 函数 y ? f ?x? ? x 有且只有 1 个零点

C. 存在正实数 k ,使得 f ? x? ? kx 恒成立

D. 对任意两个不相等的正实数 x1, x2 ,若 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4
12.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的增函数, f (x) ? 2 ? f ?(x) , f (0) ? 1,则不等式

ln? f (x) ? 2? ? x ? ln 3的解集为( )

A. ???,0? B. ?0, ??? C. ???,1? D. ?1, ???

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

1

? 13. 已知 a ? 1? x2 dx ,则 a 的值为



?1

14. 已知 ?ABC的三边a,b, c 既成等差数列,又成等比数列,则 ?ABC 的形状是_______.

15. 设 a 为实数,若函数 f ? x? ? 3 ? x ? 1? x ? a 存在零点,则实数 a 的取值范围





16.如果函数 y

?

f

(x) 在其定义域上有且只有两个数 x0 ,使得

f

(x0 ) x0

?

f ?(x0 ) ,那么我们

就称函数 y ? f (x) 为“双T 函数”,则下列四个函数中:① y ? x2 ?1, ② y ? ex , ③ y ? ln x ,

④ y ? sin x ?1,为“双T 函数”的是

.(写出所有正确命题的序号)

三、解答题:共 6 大题,写出必要的解答过程.满分 70 分.

17.(本小题 10 分)已知复数 z ? (a2 ? 4) ? (a ? 2)i, a ? R . (Ⅰ)若 z 为纯虚数,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 z 在复*面上对应的点在直线 x ? 2y ?1 ? 0 上,求实数 a 的值.

? ? 18. (本小题 12 分)设数列 an 的前 n 项之积为Tn ,并满足Tn =1? an (n ? N ) .

(1)求

a1,

a2

,

a3

;(2)证明:数列

?1

? ?

Tn

? ? ?

为等差数列.

19. (本小题 12 分)已知函数 f (x) ? 1 x3 ? ax2 ? b 在 x ? ?2 处有极值. 3
(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间;
(Ⅱ)若函数 f (x) 在区间??3,3? 上有且仅有一个零点,求 b 的取值范围.

20. (本小题 12 分)(Ⅰ)设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ), O 是坐标原点,且 A, B,O 不共线,

求证: S?OAB

?

1 2

x1 y2

? x2 y1



(Ⅱ)设 a,b, c 均为正数,且 a ? b ? c ?1.证明: a2 ? b2 ? c2 ? 1. bca

21. (本小题 12 分)已知函数 f (x) ? ln x ? (x ?1)2 . 2
(Ⅰ)求函数 f ? x? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ?1时, f ? x? ? x ?1; (Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0 ? 1,当 x ?1,( )x0 时,恒有 f ? x? ? k ? x ?1? .

22. (本小题 12 分)已知函数 f (x) ? x2 ? ax ?1, g(x) ? ln x ? a(a ? R) . (Ⅰ)讨论函数 h(x) ? f (x) ? g(x) 的单调性; (Ⅱ)若存在与函数 f (x), g(x) 的图象都相切的直线,求实数 a 的取值范围.

参考答案 1-12 D A B D D C B B A D C A

13-16 ? 2

等边三角形 ??2 , 2? ①③

17.解:Ⅰ若 z 为纯虚数,则

,且

,解得实数 a 的值为 2;

Ⅱ 在复*面上对应的点



在直线

上,则



解得 .

18.解:(1)

a1

?

1 2

, a2

?

2 3

, a3

?

3 4

(2)猜测: an

?

n n ?1

,并用数学归纳法证明(略)

11

Tn =1? an

?

,? n ?1 Tn

? n ?1 ,结论成立。

1 或: Tn?1

?1 Tn

?1 Tn?1

? an?1 Tn?1

? 1? an?1 Tn?1

?1

19.解: (Ⅰ) f ?(x) ? x2 ? 2ax 由题意知: f ?(?2) ? 4 ? 4a ? 0 ,得 a=-1,

∴ f ?(x) ? x2 ? 2x ,令 f ?(x) ? 0 ,得 x<-2 或 x>0,

令 f ?(x) ? 0 ,得-2<x<0,

∴f(x)的单调递增区间是(- ,-2)和(0,+ ),单调递减区间是(-2,0)。
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,f(x)= 1 x3 ? x2 ? b , 3
f(-2)= 4 ? b 为函数 f(x)极大值,f(0)=b 为极小值。 3
∵函数 f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点,



? ? ?

f f

(?3) ? 0 (0) ? 0



? ? ?

f f

(3) ? 0 (?2) ?

0



? ? ?

f f

(?3) ? 0 (3) ? 0



? ? ?

f f

(?2) (3) ?

? 0

0



? ? ?

f f

(?3) ? 0 (0) ? 0



?18 ? b ? 0



? ? ??

4 3

?

b

?

0

20.证明: (1)略.

,∴ ?18 ? b ? ? 4 ,即 b 的取值范围是[?18, ? 4) 。

3

3

a2

b2

c2

(2)因为 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c,

a2 b2 c2 故 b + c + a +(a+b+c)≥2(a+b+c),
a2 b2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c.

a2 b2 c2 所以 b + c + a ≥1.

21.解:(I) f ?? x? ? 1 ? x ?1 ? ?x2 ? x ?1 , x ??0, ??? .

x

x



f

?

?

x

?

?

0



?x ???

? x2

0 ?

x

?

1

?

0

解得

0

?

x

? 1? 2

5





f

?

x

?

的单调递增区间是

? ???

0,

1

? 2

5

? ??? .

(II)令 F?x? ? f ?x? ??x ?1? , x??0,??? .

则有 F?? x? ? 1? x2 .
x
当 x ??1, ??? 时, F?? x? ? 0,

所以 F? x? 在?1, ??? 上单调递减,

故当 x ?1时, F? x? ? F?1? ? 0 ,即当 x ?1时, f ? x? ? x ?1.

(III)由(II)知,当 k ?1时,不存在 x0 ? 1满足题意.
当 k ?1时,对于 x ?1,有 f ? x? ? x ?1? k ? x ?1? ,则 f ?x ? ?k x? ?1? ,从而不存在 x0 ? 1
满足题意.
当 k ?1时,令 G? x? ? f ? x? ? k ?x ?1? , x??0,??? ,

则有 G?? x? ? 1 ? x ?1? k ? ?x2 ? ?1? k ? x ?1 .

x

x

由 G?? x? ? 0 得, ?x2 ? ?1? k ? x ?1? 0.

1? k ? ?1? k ?2 ? 4

1? k ? ?1? k ?2 ? 4

解得 x1 ?

2

? 0 , x2 ?

2

? 1.

当 x??1, x2 ? 时, G?? x? ? 0 ,故 G ? x? 在?1, x2 ? 内单调递增. 从而当 x??1, x2 ? 时, G? x? ? G?1? ? 0 , 即 f ?x? ? k ?x ?1? ,

综上, k 的取值范围是 ???,1?.

22.(1)函数 h(x) 的定义域为 (0,??)

h(x) ? f (x) ? g(x) ? x2 ? ax ? ln x ? a ?1(x ? 0) ,

所以 h?(x) ? 2x ? a ? 1 ? 2x2 ? ax ?1

x

x

所以当 ? ? a2 ? 8 ? 0 即 ?2 2 ? a ? 2 2 时,h?(x) ? 0 , h(x)在 ?0, ??? 上单调递增;

当 ? ? a2 ? 8 ? 0即 a ? 2 2或a ? ?2 2 时,
当 a ? ?2 2 时 h?(x) ? 0 ,h(x)在 ?0, ??? 上单调递增;

当 a ? 2 2 时,令 h?(x) ? 0 得 x ? a ?

a2 ?8 ,

4

x

? a ? a2 ?8 ?

??? 0,

4

???

? a ? a2 ?8 a ? a2 ?8 ?

???

4

,

4

???

? ???

a

?

a2 4

?

8

,

??

? ???

h?(x)

+

-

+

h(x)







综上:当 a ? 2 2 时,h(x)在 ?0, ??? 上单调递增;

当a ? 2

2



h(x)



? ???

0,

a

?

a2 4

?

8

? ???



? ???

a

?

a2 4

?

8

,

??

? ???

单调递增,在

?a? ???

a2 ?8 , a ? 4

a2 4

?

8

? ???

单调递减。

(2)设函数 f (x) 上点 (x1, f (x1)) 与函数 g(x) 上点 (x2, g(x2 )) 处切线相同,



f ?(x1) ? g?(x2 ) ?

f (x1) ? g(x2 ) x1 ? x2

所以 2x1

?a

?

1 x2

?

x12

? ax1

?1? (ln x2 x1 ? x2

? a)

所以 x1

?

1 2x2

?

a 2

,代入

x1 ? x2 x2

?

x12

? ax1

?1? ln x2

? a 得:

1 4 x2 2

?

a 2x2

? ln

x2

?

a2 4

?

a

?

2

?

0(*)

设 F(x) ?

1

?

a

a2 ? ln x ?

? a ? 2 ,则

4x2 2x

4

F ?( x)

?

?

1 2x3

?

a 2x2

?

1 x

?

2x2

? ax ?1 2x3

不妨设 2x02 ? ax0 ?1 ? 0(x0 ? 0) 则当 0 ? x ? x0 时, F?(x) ? 0 ,当 x ? x0 时, F?(x) ? 0 所以 F(x) 在区间 (0, x0 ) 上单调递减,在区间 (x0 , ??) 上单调递增,

代入 a=2x0

?

1 x0

可得:

F (x)min

?

F(x0 )

?

x02

?

2x0

?

1 x0

?

ln

x0

?

2

设 G(x)

?

x2

?

2x

?

1 x

?

ln

x

?2

,则 G?(x)

?

2x

?

2

?

1 x2

?

1 x

?

0对

x

?0

恒成立,

所以 G(x) 在区间 (0,??) 上单调递增,又 G(1)=0

所以当 0 ? x ≤1 时 G(x) ≤ 0 ,即当 0 ? x0 ≤1 时 F(x0 ) ≤0 ,

又当

x

? e2?a



F ( x)

?

1 4e4?2a

?

a 2e2?a

? ln e2?a

?

a2 4

?a

?2

?

11 4 (e2?a

? a)2

?

0

因此当 0 ? x0 ≤1 时,函数 F(x) 必有零点;即当 0 ? x0 ≤1 时,必存在 x2 使得 (*) 成立;

即存在 x1, x2 使得函数 f (x) 上点 (x1, f (x1)) 与函数 g(x) 上点 (x2 , g(x2 )) 处切线相同.

又由

y

?

2x

?

1 x

在(0,1)

单调递增得,因此

a=2x0

?

1 x0

,

x0

? ? 0,1?

所以实数 a 的取值范围是 ???,1? .


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